設(shè)函數(shù)y＝f(x)，對任意實數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.

(1)求f(0)的值；

(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；

(3)在(2)的條件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表達式并用數(shù)學歸納法證明.

【解析】(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.

(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4.

f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9.

f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.

(3)由(2)可猜想f(n)＝n2，

用數(shù)學歸納法證明：

(i)當n＝1時，f(1)＝12＝1顯然成立.

(ii)假設(shè)當n＝k時，命題成立，即f(k)＝k2，

則當n＝k＋1時，

f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1

＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，

故當n＝k＋1時命題也成立，

由(i)，(ii)可得，對一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)：fK(x)＝取函數(shù)f(x)＝a－|x|(a>1)．當K＝時，函數(shù)fK(x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞減的是(　　)

A．(－∞，0)                       B．(－a，＋∞)

C．(－∞，－1)                     D．(1，＋∞)

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆湖南省長沙市第一中學高三上學期第五次月考理科數(shù)學卷 題型：解答題

(本小題滿分13分)
設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，若對任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，數(shù)列{an}滿足：a1＝f(1)＋1，f(－)＋f(＋)＝0.設(shè)Sn＝aa＋aa＋aa＋…＋aa＋aa.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式，并求Sn關(guān)于n的表達式；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)對任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正項數(shù)列{bn}滿足：b＝g()，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，試比較4Sn與Tn的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆吉林省松原市高一第一次月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)y＝f (x)＝在區(qū)間 (－2，＋∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：新課標高三數(shù)學函數(shù)專項訓(xùn)練（河北） 題型：填空題

設(shè)函數(shù)y＝f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，它在區(qū)間[0,1]上的圖象為如圖所示的線段AB，則在區(qū)間[1,2]上f(x)＝______.                

 

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