Question

（理）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，點E在棱AB上移動．
（1）探求AE等于何值時，直線D₁E與平面AA₁D₁D成45°角；
（2）點E移動為棱AB中點時，求點E到平面A₁DC₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：先找到直線D₁E與平面AA₁D₁D所成的平面角，放入直角三角形中，根據(jù)角的大小為45°，來求三角形中邊之間的關系，即可求出AE長度．
解法二：利用空間向量來解，先建立空間直角坐標系，求出坐標，以及平面AA₁D₁D的法向量的坐標，因為直線D₁E與平面AA₁D₁D成45°角，所以與平面AA₁D₁D的法向量成45°角，再用向量的數(shù)量積公式即可求出坐標，進而判斷E點位置．
（2）利用空間向量的知識，點到平面的距離可用公式來求，其中為平面的法向量，為E點到平面上任意一點的向量．
解答：解：（1）解法一：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因為點E在棱AB上移動，所以EA⊥平面AA₁D₁D，從而∠ED₁A為直線D₁E與平面AA₁D₁D所成的平面角，
Rt△ED₁A中，∠ED₁A=45°．
解法二：以D為坐標原點，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則點D₁（0，0，1），平面AA₁D₁D的法向量為，設E（1，y，0），得，
由，得，
故
（2）以D為坐標原點，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則點E（1，1，0），A₁（1，0，1），
C₁（0，2，1），
從而，，
設平面DA₁C₁的法向量為，由
令，
所以點E到平面A₁DC₁的距離為=1．
點評：本題主要考查了向量法求直線與平面所成角，以及點到平面的距離．屬于立體幾何的常規(guī)題．