Question

6．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AA₁=AB=2，E，F(xiàn)分別是CC₁，BC的中點．
（1）求證：平面AB₁F⊥平面AEF；
（2）求點C到平面AEF的距離．

Answer 1

分析 （1）連結AF，由已知條件推導出面ABC⊥面BB₁C₁C，從而AF⊥B₁F，由勾股定理得B₁F⊥EF．由此能證明平面AB₁F⊥平面AEF．
（2）利用等面積方法，即可求出點C到平面AEF的距離．

解答 （1）證明：連結AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜邊BC的中點，
∴AF⊥BC．
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面BB₁C₁C，AF⊥B₁F．…（2分）
設AB=AA₁=1，則B₁F=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B₁E=$\frac{3}{2}$．
∴B₁F²+EF²=B₁E²，∴B₁F⊥EF．
又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF．…（4分）
而B₁F?面AB₁F，故：平面AB₁F⊥平面AEF．…（5分）
（2）解：設點C到平面AEF的距離為h，則由題意，AF⊥CF，AF⊥EF，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，S_△AEF=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由等體積可得，$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}h$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查點C到平面AEF的距離的求法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．