Question

10．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中$\overrightarrow a=（1，-1）$．
（1）若$|{\overrightarrow c}|=3\sqrt{2}$，且$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，求向量$\overrightarrow c$的坐標(biāo)；
（2）若$|{\overrightarrow b}|=1$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），根據(jù)向量共線和模長(zhǎng)公式列方程解出；
（2）由$\overrightarrow a•（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）=0$得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1，代入夾角公式求出夾角．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow c=（x，y）$，∵$|{\overrightarrow c}|=3\sqrt{2}$，且$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{y+x=0}\\{{x^2}+{y^2}=18}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=3}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}}\right.$．
故$\overrightarrow c=（-3，3）$，或$\overrightarrow c=（3，-3）$．
（2）∵$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）$，
∴$\overrightarrow a•（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）=0$，
即${\overrightarrow a^2}-2\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，∴$2-2\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
即$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$．
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$θ=\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系，平面向量的共線定理，屬于中檔題．