Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)”．已知當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）=

1

6

x³-

1

2

mx2+x在（-1，2）上是“凸函數(shù)”．則f（c）在（-1，2）上（　　）

• A、既有極大值，也有極小值
• B、既有極大值，也有最小值
• C、有極大值，沒(méi)有極小值
• D、沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小值

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)恒成立，得出m的值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，得出結(jié)果．

解答： 解：因f′（x）=

1

2

x²-mx+1，
f″（x）=x-m＜0對(duì)于x∈（-1，2）恒成立．
∴m＞（x）_max=2，又當(dāng)m=2時(shí)也成立，有m≥2．
而m≤2，∴m=2．
于是f′（x）=

1

2

x²-2x+1，由f′（x）=0，x=2-

2

或x=2+

2

（舍去），
f（x）（-1，2-

2

）上遞增，在（2-

2

，2）上遞減，
則f（x）有極大值，沒(méi)有極小值．
只有C正確．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)知識(shí)及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值，屬于中檔題．