Question

如圖所示，某小區(qū)為美化環(huán)境，準備在小區(qū)內草坪的一側修建一條直路OC；另一側修建一條休閑大道，它的前一段OD是函數(shù)y=k

x

（k＞0）的一部分，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（ωx+Φ）（A＞0，|Φ|＜

π

2

），x∈[4，8]時的圖象，圖象的最高點為B（5，

8

3

3

），DF⊥OC，垂足為F．
（Ⅰ）求函數(shù)y=Asin（ωx+Φ）的解析式；
（Ⅱ）若在草坪內修建如圖所示的兒童游樂園PMFE，問點P落在曲線OD上何處時，兒童樂園的面積最大？

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：導數(shù)的概念及應用,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由圖易知，A=

8

3

3

，T=

2π

ω

=12⇒ω=

π

6

，又5×

π

6

+Φ=2kπ+

π

2

（k∈Z）⇒Φ=2kπ-

π

3

（k∈Z），又|Φ|＜

π

2

，可求得Φ=-

π

3

，于是可得函數(shù)y=Asin（ωx+Φ）的解析式；
（Ⅱ）在y=

8

3

3

sin（

π

6

x-

π

3

）中，令x=4，可得D（4，4），曲線OD的方程為y²=4x（0≤x≤4），設點P（

t2

4

，t）（0≤t≤4），則矩形PMFE的面積為S=（4-

t2

4

）t（0≤t≤4），利用導數(shù)可求得兒童樂園的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖知，A=

8

3

3

，

T

4

=8-5=3，T=

2π

ω

=12，解得ω=

π

6

，…3分
又5×

π

6

+Φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
所以，Φ=2kπ-

π

3

（k∈Z），…4分
又|Φ|＜

π

2

），故Φ=-

π

3

…5分
故y=

8

3

3

sin（

π

6

x-

π

3

）…6分
（Ⅱ）在y=

8

3

3

sin（

π

6

x-

π

3

）中，令x=4，得D（4，4）…7分
從而得曲線OD的方程為y²=4x（0≤x≤4）…8分
設點P（

t2

4

，t），（0≤t≤4），則矩形PMFE的面積為S=（4-

t2

4

）t（0≤t≤4），…9分
因為S′=4-

3t2

4

，由S′=0，得t=

4

3

3

，且當t∈(0，

4 3

3

)時，S′＞0，S遞增；當t∈(

4 3

3

，4)時，S′＜0，S遞減；
所以當t=

4

3

3

時，S最大，此時點P的坐標為（

4

3

，

4

3

3

）…12分

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查導數(shù)的概念及應用，考查轉化思想與運算求解能力．