Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

2

cos

x

2

-cos2

x

2

+

1

2

，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若已知cos(β-α)=

4

5

，cos(β+α)=-

4

5

，(0＜α＜β≤

π

2

)，求f(β+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式將f（x）化簡(jiǎn)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后直接求出周期；
（II）先根據(jù)兩角和與差公式展開(kāi)cos（β-α）和cos（β+α），進(jìn)而求出cosαcosβ=0，再由角的范圍得出β的值，即可求得結(jié)果．

解答：解：（I）f（x）=

1

2

sinx-

1+cos×

2

+

1

2

=

2

2

sin（x-

π

4

）
∴T=2π
（II）∵cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

cos（β+α）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

4

5

∴cosαcosβ=0
∵0＜α＜β≤

π

2

∴cosβ=0
∴β=

π

2

f(β+

π

4

)=

2

2

sinβ=

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二倍角公式、兩角和與差公式等知識(shí)，關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度，是基礎(chǔ)題．