Question

已知函數(shù)f（x）=mlnx+，（其中m為常數(shù)）
（1）試討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）令函數(shù)h（x）=f（x）+-x．當(dāng)m∈[2，+∞）時，曲線y=h（x）上總存在相異兩點(diǎn)P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得過P、Q點(diǎn)處的切線互相平行，求x₁+x₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，對m分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）利用過P、Q點(diǎn)處的切線互相平行，建立方程，結(jié)合基本不等式，再求最值，即可求x₁+x₂的取值范圍．
解答：解：（1）∵（x＞0）
∴m≤0時，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；
m＞0時，f′（x）＞0可得，f′（x）＜0可得
∴函數(shù)f（x）在（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由題意，可得h′（x₁）=h′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即= 
∴    
∵x₁≠x₂，由不等式性質(zhì)可得恒成立，
又x₁，x₂，m＞0
∴
∴對m∈[2，+∞）恒成立
令g（m）=m+（m≥2），則對m∈[2，+∞）恒成立
∴g（m）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，∴             
∴=                                
∴x₁+x₂的取值范圍為（）．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．