Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x+sinxcosx，x∈[

π

2

， π]．
（Ⅰ）求f(

2π

3

)的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)

2π

3

的正弦、余弦之值，代入函數(shù)表達式，即可得到f(

2π

3

)的值；
（II）利用二倍角三角函數(shù)公式和輔助角公式，進行降次、合并整理，得f(x)=sin(2x-

π

3

)+

3

2

，再結合函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+K的圖象與性質，不難得到f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵sin

2π

3

=

3

2

，cos

2π

3

=-

1

2

∴f(

2π

3

)=

3

sin2

2π

3

+sin

2π

3

cos

2π

3

=

3 3

4

-

3

4

=

3

2

．…（4分）
（Ⅱ）∵sin²x=

1-cos2x

2

，sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f(x)=

3

2

(1-cos2x)+

1

2

sin2x=sin(2x-

π

3

)+

3

2

．…（8分）
因為x∈[

π

2

， π]，所以2x-

π

3

∈[

2π

3

， 

5π

3

]．…（9分）
當2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

時，f（x）的最大值為

3

；         …（11分）
當2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

時，f（x）的最小值為-1+

3

2

．…（13分）

點評：本題將一個三角函數(shù)式化簡整理，求函數(shù)的周期和最值，著重考查了二倍角三角公式、輔助角公式和三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于基礎題．