Question

18．已知a∈R，命題p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，命題q：“?x∈R，x²+2ax+2=0”．
（1）若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于命題p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，令f（x）=x²-a，只要x∈[1，2]時，f（x）_min≥0即可；
（2）由（1）可知，當命題p為真命題時，a≤1，命題q為真命題時，△=4a²-4•2≥0，解得a的取值范圍．由于命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，可知：命題p與命題q必然一真一假，解出即可．

解答 解：（1）∵命題p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，令f（x）=x²-a，
根據(jù)題意，只要x∈[1，2]時，f（x）_min≥0即可，也就是1-a≥0，解得a≤1，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]；    
（2）由（1）可知，當命題p為真命題時，a≤1，
命題q為真命題時，△=4a²-4×2≥0，解得a≤-$\sqrt{2}$或a≥$\sqrt{2}$．
∵命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，
∴命題p與命題q必然一真一假，
當命題p為真，命題q為假時，$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{-\sqrt{2}＜a\sqrt{2}}\end{array}\right.即-\sqrt{2}＜a≤1$．
當命題p為假，命題q為真時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤-\sqrt{2}或a≥\sqrt{2}}\end{array}\right.即a≥\sqrt{2}$
綜上：a$≥\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$＜a≤1

點評 題考查了簡易邏輯的有關(guān)知識、函數(shù)的性質(zhì)、方程的解、不等式組等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．