如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.

（1）求異面直線PA與BC所成角的正切值；

（2）證明平面PDC⊥平面ABCD；

（3）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

 

【答案】

1）2

（2）證明：由于底面是矩形，故,又由于，

因此平面PDC,而平面，所以平面平面.

（3）

【解析】(1)找出線面角是求解的關(guān)鍵，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811051520859800/SYS201209081105455435876709_DA.files/image008.png">,所以可知為異面直線與所成的角.

如圖，

在四棱錐中，因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811051520859800/SYS201209081105455435876709_DA.files/image001.png">是矩形，

所以且,又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811051520859800/SYS201209081105455435876709_DA.files/image015.png">,故為異面直線與所成的角.

在中，,

所以，異面直線PA與BC所成角的正切值為2.

 (2)證明平面PDC即可.

（3）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作交直線CD于點(diǎn)E，連接EB.因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811051520859800/SYS201209081105455435876709_DA.files/image006.png">平面,故平面，由此得為直線PB與平面所成的角.余下的問(wèn)題是解三角形求角.

在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作交直線CD于點(diǎn)E，連接EB.

由于平面平面，而直線CD是平面與平面的交線，

故平面，由此得為直線PB與平面所成的角.

在中，由于可得.

在中，，

由平面，得平面，

因此,在中，.

在中，

所以直線PB與平面ABCD所成的角的正弦值為.

 

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2
，∠PAB=60°．
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