Question

把邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長為x cm的相等的正方形，然后折成一個高度為x cm的無蓋的長方體的盒子，要求長方體的高度與底面邊長的比值不超過常數(shù)k（k＞0），問x取何值時，盒子的容積最大，最大容積是多少？

Answer 1

解：設(shè)長方體高為x cm，則底面邊長為（60-2x）cm，（0＜x＜30）
長方體容積V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²（單位：cm³）
∵，∴．
即函數(shù)定義域為，
V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合題意舍去），于是

x	（0，10）	10	（10，30）
V′（x）	+	0	-
V（x）	↑		↓

①當(dāng)，
在x=10時，V取得最大值為
②當(dāng)取得最大值
分析：設(shè)長方體高為x cm，求題意求出底面邊長，并注明x的范圍，再求出長方體容積V=V（x），再由條件求出函數(shù)的定義域，再求出V′（x），求出臨界點、列表格，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由表格對k進行分類，分別求出V（x）的最大值和對應(yīng)的x的值．
點評：本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題等，注意自變量的實際意義，考查了分類討論思想．