Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|及g（x）=x²+2ax+1（a＞0且a為常數(shù)），且函數(shù)f（x）及g（x）的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得：f（0）=g（0），即|a|=1，可得a=1．
（Ⅱ）由（I）可得：F（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1，分段討論：當(dāng)x≥1時(shí)與當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的解析式證明函數(shù)在整個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：f（0）=g（0），
即|a|=1，
又因?yàn)閍＞0，
所以a=1．
（Ⅱ）由（I）可得：F（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1
①當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)（x）=（x-1）+x²+2x+1=x²+3x=(x+

3

2

)2-

9

4

，
所以根據(jù)二次函數(shù)的現(xiàn)在可得：F（x）在[1+∞）在上單調(diào)遞增．　　　 
②當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）=-（x-1）+x²+2x+1

=x2+x+2

=(x+ 1 2 )2+ 7 4

，
所以根據(jù)二次函數(shù)的現(xiàn)在可得：F（x）在[-

1

2

，1)上單調(diào)遞增．
因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）=4；當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）＜4，
所以F（x）在[-

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握分段函數(shù)單調(diào)性的判斷與單調(diào)區(qū)間的求解．