Question

（文）在平面直角坐標系xoy中，若在曲線C₁的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ為正實數(shù)）代替（x，y）得到曲線C₂的方程F（λx，λy）=0，則稱曲線C₁、C₂關(guān)于原點“伸縮”，變換（x，y）→（λx，λy）稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比．
（1）已知曲線C₁的方程為，伸縮比λ=2，求C₁關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線C₂的方程；

（2）已知拋物線C₁：y²=2x，經(jīng)過伸縮變換后得拋物線C₂：y²=32x，求伸縮比λ．
（3）射線l的方程，如果橢圓C₁：經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓C₂，若射線l與橢圓C₁、C₂分別交于兩點A、B，且，求橢圓C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）曲線C₁的方程為，伸縮比λ=2，根據(jù)“伸縮變換”后所得曲線C₂的方程；
（2）拋物線C₁：y²=2x，經(jīng)過伸縮變換后得拋物線C₂：λ²y²=λx，⇒y²=x對照方程得出λ即可；
（3）根據(jù)C₂、C₁關(guān)于原點“伸縮變換”，對C₁作變換（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），解方程組結(jié)合弦長公式得出關(guān)于λ的方程，解得λ，最后寫出橢圓C₂的方程即得．
解答：解：（1）曲線C₁的方程為，伸縮比λ=2，
∴C₁關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線C₂的方程為：，即；
（2）拋物線C₁：y²=2x，經(jīng)過伸縮變換后得拋物線C₂：λ²y²=λx，⇒y²=x
=32，⇒則伸縮比λ=；
（3）∵C₂、C₁關(guān)于原點“伸縮變換”，對C₁作變換（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），
得到C₂，（12分）
解方程組得點A的坐標為（14分）
解方程組得點B的坐標為（15分）
==，
化簡后得3λ²-8λ+4=0，解得，
因此橢圓C₂的方程為或．（18分）（漏寫一個方程扣2分）
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．