Question

已知函數(shù)．
（I）若，求sin2x的值；
（II）求函數(shù)F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值與單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：=1+2sincos-（1-cosx）
∴f（x）=sinx+cosx
（I）f（x）=sinx+cosx=，兩邊平方得（sinx+cosx）²=
∴1+2sinxcosx=，可得2sinxcosx=，即sin2x=
（II）∵f（x）•f（-x）=（sinx+cosx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，
f²（x）=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=1+sin2x
∴函數(shù)F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）=1+sin2x+cos2x，
化簡(jiǎn)，得數(shù)F（x）=sin（2x+）+1
當(dāng)2x+=+2kπ時(shí)，即x=+kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)F（x）的最大值為+1
令-+2kπ＜2x+＜+2kπ（k∈Z），得-+kπ＜x＜+kπ
∴函數(shù)F（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-+kπ，+kπ）．
分析：（I）將函數(shù)f（x）展開，再用降次公式化簡(jiǎn)整理，得f（x）=sinx+cosx．將平方，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系和正弦的二倍角公式，可得sin2x的值；
（II）將函數(shù)f（x）和f（-x）表達(dá)式代入，得函數(shù)F（x）=1+sin2x+cos2x，化簡(jiǎn)得：F（x）=sin（2x+）+1．由此結(jié)合正弦函數(shù)最值和單調(diào)區(qū)間的結(jié)論，可得函數(shù)F（x）的最大值與單調(diào)遞增區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題將已知三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，并求與之相關(guān)的另一個(gè)函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，著重考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系、三角函數(shù)的最值和三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．