如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,點E是PD的中點.
(Ⅰ)求證:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)求證:AC⊥PB.
考點:直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)欲證PB∥面AEC,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PB與面AEC內(nèi)一直線平行即可,連接BD交AC于點O,并連接EO,根據(jù)中位線可知EO∥PB,PB?面AEC,EO?面AEC滿足定理所需條件.
(Ⅱ)欲證AC⊥PB,可先證AC⊥面PAB,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與面PAB內(nèi)兩相交直線垂直,根據(jù)PA⊥面ABCD,AC?面ABCD,可得PA⊥AC,又因AB⊥AC,PA∩AC=A,PA?面PAB,AB?面PAB,滿足定理所需條件;
解答: 證明:(Ⅰ)連接BD交AC于點O,并連接EO,
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴O為BD的中點又∵E為PD的中點,
∴在△PDB中EO為中位線,EO∥PB,
∵PB?面AEC,EO?面AEC∴PB∥面AEC.
(Ⅱ)∵PA⊥面ABCD,AC?面ABCD,∴PA⊥AC,
又∵AB⊥AC,PA∩AC=A,PA?面PAB,AB?面PAB,
∴AC⊥面PAB,
∴AC⊥PB.
點評:本題考查了空間兩直線的位置關(guān)系,以及直線與平面平行的判定等有關(guān)知識,考查學生空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ln(1+x)
1-x
的定義域為M,g(x)=x2的值域為N,求M∪(∁RN)

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以下給出一個算法的程序框圖(如圖所示),根據(jù)該程序框圖回答問題.
(1)若輸入的四個數(shù)是5,3,8,12,則最后輸出的結(jié)果是什么?
(2)該算法是為什么問題而設(shè)計的?寫出算法的步驟.

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已知x、y滿足條件
x-y+5≥0
x+y≥0
x≤3.
則2x+4y的最小值為( 。
A、-6B、6C、-12D、12

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已知O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線C:y2=4
3
x的焦點,P是C上一點,若|PF|=3
3
,則△OPF的面積為(  )
A、2
3
B、3
2
C、3
3
D、6
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的N是5,那么輸出的P是( 。
A、1B、24C、120D、720

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知海島A與海岸公路BC的距離為50km,B、C間的距離為100km,從A到C,必須先坐船到BC上某一點D,船速為25km/h,再乘汽車,車速為50km/h.
設(shè)∠BAD=θ.記∠BAD=α(α為確定的銳角,滿足tanα=
1
2

(1)試將由A到C所用時間t表示為θ的函數(shù)t(θ),并指出函數(shù)的定義域;
(2)問θ為多少時,使從A到C所用時間最少?并求出所用的最少時間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

求函數(shù)f(x)=2x2-x+3+
x2-x
的最小值
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
2
ax2-2x  
(1)當a=1時,?x0∈[1,e],使不等式f(x0)≤m,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若a=-
1
2
,且關(guān)于x的方程f(x)=-
1
2
x+b在[1,4]上恰有兩個不等的實根,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax的下方,求實數(shù)a的取值范圍.

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