【答案】
分析:(1)連接AC
1與A
1C交于點K,連接DK.根據(jù)三角形中位線定理,易得到DK∥BC
1,再由線面平行的判定定理得到BC
1∥平面DCA
1;
(2)方法一:由AC=BC,D為AB的中點,取A
1B
1的中點E,又D為AB的中點,得到DCC
1E是平行四邊形,則∠EBC
1即為BC
1與平面ABB
1A
1所成角的二面角,解三角形即可求出答案.方法二:由AC=BC,D為AB的中點,取DA
1的中點F,則∠KDF即BC
1與平面ABB
1A
1所成的角.解三角形即可求出答案.
解答:證明:(1)如圖一,連接AC
1與A
1C交于點K,連接DK.
在△ABC
1中,D、K為中點,∴DK∥BC
1、(4分)
又DK?平面DCA
1,BC
1?平面DCA
1,∴BC
1∥平面DCA
1、(6分)
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圖一 圖二 圖三
(2)證明:(方法一)如圖二,∵AC=BC,D為AB的中點,∴CD⊥AB、
又CD⊥DA
1,AB∩DA
1=D,∴CD⊥平面ABB
1A
1、(8分)
取A
1B
1的中點E,又D為AB的中點,∴DE、BB
1、CC
1平行且相等,
∴DCC
1E是平行四邊形,∴C
1E、CD平行且相等.
又CD⊥平面ABB
1A
1,∴C
1E⊥平面ABB
1A
1,∴∠EBC
1即所求角、(10分)
由前面證明知CD⊥平面ABB
1A
1,∴CD⊥BB
1,
又AB⊥BB
1,AB∩CD=D,∴BB
1⊥平面ABC,∴此三棱柱為直棱柱.
設AC=BC=BB
1=2,∴
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,
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,∠EBC
1=30°、(12分)
(方法二)如圖三,∵AC=BC,D為AB的中點,∴CD⊥AB、
又CD⊥DA
1,AB∩DA
1=D,∴CD⊥平面ABB
1A
1、(8分)
取DA
1的中點F,則KF∥CD,∴KF⊥平面ABB
1A
1.
∴∠KDF即BC
1與平面ABB
1A
1所成的角.(10分)
由前面證明知CD⊥平面ABB
1A
1,∴CD⊥BB
1,
又AB⊥BB
1,AB∩CD=D,∴BB
1⊥平面ABC,∴此三棱柱為直棱柱.
設AC=BC=BB
1=2,∴
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,
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,∴∠KDF=30°、(12分)
點評:本題考查的知識點是直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,其中(1)的關鍵是得到DK∥BC
1,(2)的關鍵是求出BC
1與平面ABB
1A
1所成角的平面角.本小題在能力方面主要考查立體幾何的相關知識及空間想象能力,具體涉及到線面的平行關系、線面角的求法.