Question

已知雙曲線，設直線l過點，
（1）當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；
（2）證明：當k＞時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為．

Answer 1

解：（1）雙曲線C的漸近線，
即∴
直線l的方程
∴直線l與m的距離．

（2）設過原點且平行于l的直線b：kx-y=0，
則直線l與b的距離d=，
當時，．
又雙曲線C的漸近線為，
∴雙曲線C的右支在直線b的右下方，
∴雙曲線C的右支上的任意點到直線l的距離大于．
故在雙曲線C的右支上不存在點Q（x₀，y₀）到到直線l的距離為．
分析：（1）先求出雙曲線的漸近線方程，進而可得到直線l的斜率，然后根據(jù)直線l過點求出直線l的方程，再由平行線間的距離公式可求直線l的方程及l(fā)與m的距離．
（2）設過原點且平行于l的直線方程利用直線與直線的距離求得l與b的距離，當k＞時，可推斷出，利用雙曲線的漸近線方程可知雙曲線C的右支在直線b的右下方，進而推斷出雙曲線C的右支上的任意點到直線l的距離大于，進而可知故在雙曲線C的右支上不存在點Q（x₀，y₀）到到直線l的距離為．
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．