Question

已知向量

a

=（cosx-sinx，cosx+sinx），

b

=（cosx，-sinx），

c

=（2，1），其中x∈[0，π]．
（Ⅰ）若（3

a

+4

b

）∥

c

，求x；
（Ⅱ）設函數(shù)f（x）是

a

在

b

方向上的投影，在給出的直角坐標系中，畫出y=f（x）在[0，π]的圖象．

Answer 1

考點：平面向量共線（平行）的坐標表示,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由已知計算3

a

+4

b

，由（3

a

+4

b

）∥

c

，求得cosx=sinx，從而得x的值；
（Ⅱ）化簡f（x）的解析式，列出f（x）在[0，π]的6個關鍵點，畫出圖象即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得3

a

+4

b

=（7cosx-3sinx，3cosx-sinx）；
∵（3

a

+4

b

）∥

c

，又

c

=（2，1），
∴7cosx-3sinx-2（3cosx-sinx）=0，
化簡，得cosx=sinx，
∴tanx=1；
∵x∈[0，π]，
∴x=

π

4

；
（Ⅱ）∵f（x）=

a • b

| b |

=（cosx-sinx）cosx+（cosx+sinx）（-sinx）
=cos²x-sin²x-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=

2

（

2

2

cos2x-

2

2

sin2x）
=

2

cos（2x+

π

4

），
列表如下：；
∴畫出y=f（x）在[0，π]的圖象為

點評：本題考查了向量與三角函數(shù)相結合的有關問題，解題時應按照向量的運算法則以及三角函數(shù)的知識，進行解答，是基礎題．