Question

如圖，在三棱錐D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E為BC的中點，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求證：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值；
（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證AC⊥平面DEF，先證AC⊥DE，再證AC⊥EF，即可；
（2）分別計算面積，利用面積比，即可求平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值；
（3）M為BD的中點，連CM，設CM∩DE=O，連OF，只要MN∥OF即可，求出CN．

解答：（1）證明：取AC的中點H，連接BH，
∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F為CH的中點．
∵E為BC的中點，∴EF∥BH．則EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF；
（2）解：設AB=BC=2a，則DE=

3

a，EF=

2

2

a，∴S△DEF=

1

2

3

a•

2

2

a=

6

4

a
∵S△ABD=

1

2

•2a•2a=2a
∴平面DEF與平面ABD所成的銳二面角的余弦值為

6

8

；
（3）解：存在這樣的點N，
當CN=

3

8

CA時，MN∥平面DEF．
連CM，設CM∩DE=O，連OF．
由條件知，O為△BCD的重心，CO=

2

3

CM．
∴當CF=

2

3

CN時，MN∥OF，∴CN=

3

2

•

1

4

CA=

3

8

CA

點評：本題考查線面垂直，線面平行，考查面面角，考查邏輯思維能力，屬于中檔題．