Question

已知兩曲線f（x）=x³+ax，g（x）=ax²+bx+c都經(jīng)過P（1，2），在點(diǎn)P有公切線．
（1）求a，b，c的值；
（2）設(shè)k（x）=

f(x)

g(x)

，求k′（-2）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先由曲線y=x³+ax經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），求得a值，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線y=x³+ax經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）的切線方程l；再由y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）的切線方程也是l，可求得b、c的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，代入，即可求k′（-2）的值．

解答： 解：（1）將P（1，2）代入兩曲線y=x³+ax和y=x²+bx+c，得

a=1 b+c=1

設(shè)f（x）=x³+x，g（x）=x²+bx+c
∵f′（x）=3x²+1，∴f′（1）=4，
∵g′（x）=2x+b，∴g′（1）=2+b
∵兩曲線在點(diǎn)P處有公切線
∴f′（1）=g′（1）=2+b=4，
∴b=2，c=-1；
（2）k（x）=

f(x)

g(x)

=

x3+x

x2+2x-1

，
∴k′（x）=

(3x2+1)(x2+2x-1)-(x3+x)(2x+2)

(x2+2x-1)2

，
∴k′（-2）=

13×(-1)-(-8-2)×(-2)

1

=-33．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．