Question

已知f(x)=(x

1

k

+x)n，且正整數(shù)n滿足C_n³=C_n⁵，A={0，1，2，…n}
（1）求n；
（2）若i、j∈A，是否存在j，當(dāng)i≥j時(shí)，C_nⁱ≤C_n^j恒成立．若存在，求出最小的j；若不存在，試說明理由．
（3）k∈A，若f（x）的展開式有且只有三個(gè)有理項(xiàng)，求k．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)C_n^m=C_n^n-m，易得答案；
（2）由（1）的結(jié)論，n=8，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得其二項(xiàng)式系數(shù)中最大的為C₈⁴，由題意，可得i≥j≥4，即可得答案；
（3）寫出）f(x)=(x

1

k

+x)8展開式通項(xiàng)，依題意，只須8-r是k的整數(shù)倍的r有且只有三個(gè)，分別令k=1，2，3…8，代入通項(xiàng)中，檢驗(yàn)可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意中C_n³=C_n⁵，結(jié)合C_n^m=C_n^n-m，
則n=8
（2）由（1）的結(jié)論，n=8，
當(dāng)n=8時(shí)，C₈^m（m=0、1、2…、8）中，C₈⁴最大，
即i≥j≥4時(shí)，滿足C_nⁱ≤C_n^j恒成立，
則最小的j=4；
（3）f(x)=(x

1

k

+x)8展開式通項(xiàng)為Tr+1=

C

r 8

(x

1

k

)8-r•xr=

C

r 8

x

8-r

k

+r
依題意，只須8-r是k的整數(shù)倍的r有且只有三個(gè)，
分別令k=1，2，3…8，代入通項(xiàng)中，
檢驗(yàn)得k=3或4；
故k=3或4．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵要靈活應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．