Question

對(duì)于函數(shù)f（x）（x∈D），若x∈D時(shí)，恒有＞成立，則稱函數(shù)是D上的J函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)函數(shù)f（x）＝mlnx是J函數(shù)時(shí)，求m的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）為（0，＋∞）上的J函數(shù)，

①試比較g（a）與g（1）的大�。�

②求證：對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃， ，x_n，均有g(shù)（ln（x₁＋x₂＋ ＋x_n））＞g（lnx₁）＋g（lnx₂）＋ ＋g（lnx_n）．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當(dāng)時(shí)，，即，得；

當(dāng)時(shí)，，即，得；

當(dāng)時(shí)，，即，得.

同時(shí)結(jié)合構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解最值證明不等式。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）由，可得，

因?yàn)楹瘮?shù)是函數(shù)，所以，即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071311421238557726/SYS201307131143125330610025_DA.files/image021.png">，所以，即的取值范圍為.          （3分）

（Ⅱ）①構(gòu)造函數(shù)，

則，可得為上的增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即，得；

當(dāng)時(shí)，，即，得；

當(dāng)時(shí)，，即，得.      （6分）

②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071311421238557726/SYS201307131143125330610025_DA.files/image027.png">，所以，

由①可知，

所以，整理得，

同理可得， ，.

把上面個(gè)不等式同向累加可得

.         （12分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用，屬于難度題。