已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點分別是F1（0，-1），F(xiàn)2（0，1），3a2=4b2：
（Ⅰ）求橢圓的方程；  
（Ⅱ）設(shè)點P在這個橢圓上，且|PF1|-|PF2|=1，求∠F1PF2的余弦值．
分析：（Ⅰ）利用橢圓幾何量之間的關(guān)系，結(jié)合3a2=4b2，求出幾何量，即可求橢圓的方程；  
（Ⅱ）利用橢圓的定義，結(jié)合|PF1|-|PF2|=1，及余弦定理，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由已知c=1，則a2-b2=1，又3a2=4b2，故a2=4，b2=3，
∴所求橢圓方程為：
x2
3
+
y2
4
=1
（Ⅱ）由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=4，
∵|PF1|-|PF2|=1，∴|PF1|=
5
2
，|PF2|=
3
2
，
∵|F1F2|=2，
∴cos∠F1PF2=
25
4
+
9
4
-4
2×
5
2
×
3
2
=
3
5
．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的定義，考查余弦定理的運用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側(cè)，C點在D點右側(cè)．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF1與直線DF2的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）（其中a2-b2=c2）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側(cè)，C點在D點右側(cè)，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1 (a＞b＞0)的離心率e滿足3， 
1
e
， 
4
9
成等比數(shù)列，且橢圓上的點到焦點的最短距離為2-
3
．過點（2，0）作直線l交橢圓于點A，B．
（1）若AB的中點C在y=4x（x≠0）上，求直線l的方程；
（2）設(shè)橢圓中心為，問是否存在直線l，使得的面積滿足2S△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上下焦點分別為F1，F(xiàn)1，短軸兩個端點為P，P1，且四邊形F1PF2P1是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)△ABC，AC=2
3
，B為橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）在x軸上方的頂點，當(dāng)AC在直線y=-1上運動時，求△ABC外接圓的圓心Q的軌跡E的方程；
（3）過點F（0，
3
2
）作互相垂直的直線l1l2，分別交軌跡E于M，N和R，Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：南通模擬 題型：解答題

平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），A（
3
c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側(cè)，C點在D點右側(cè)．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF1與直線DF2的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

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