已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x

(1)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期;
(2)當x∈[0,2π]時,求使f(x)=
3
成立的x的值.
分析:(1)由已知中函數(shù)的解析式,及和差角公式,我們可將函數(shù)的解析式化簡為正弦型函數(shù)的形式,求出A及ω值后,易得函數(shù)f(x)的值域和最小正周期;
(2)根據(jù)化簡后的解析式,結合x∈[0,2π],我們可求出使f(x)=
3
成立的x的值.
解答:解:∵f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x

=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin(2x+x)

=2sin2xcosx+
3
cosx-sin2xcosx-cos2xsinx

=sin2xcosx-cos2xsinx+
3
cosx

=sinx+
3
cosx

=2sin(x+
π
3

(1)∵A=2,ω=1
∴ymax=2,ymin=2,T=2π
即函數(shù)f(x)的值域為[-2,2]和最小正周期為2π;
(2)若f(x)=
3

則sin(x+
π
3
)=
3
2

又∵x∈[0,2π]
∴x+
π
3
∈[
π
3
,
3
]
則x+
π
3
∈{
π
3
,
3
,
3
}
則x={0,
π
3
,2π}
使f(x)=
3
成立的x的值為0或
π
3
或2π
點評:本題考查的知識點是和差角公式,三角函數(shù)的周期,值域,三角函數(shù)給值求角,其中(2)中易忽略x=2π也滿足條件.
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3
3

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+
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3
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3
3
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2
3
2
3

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