Question

已知圓C經(jīng)過(guò)A（5，1），B（1，3）兩點(diǎn)，圓心在x軸上．則C的方程為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知線段AB為圓C的一條弦，根據(jù)垂徑定理得到AB的垂直平分線過(guò)圓心C，所以由A和B的坐標(biāo)表示出直線AB的方程，然后根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為-1由直線AB的斜率求出AB垂直平分線的斜率，又根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率寫出AB的垂直平分線的方程，又因?yàn)閳A心在x軸上，所以把求出AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心C的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出線段AC的長(zhǎng)度即為圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答：解：由A（5，1），B（1，3），
得到直線AB的方程為：y-3=

3-1

1-5

（x-1），即x+2y-7=0，
則直線AB的斜率為-

1

2

，所以線段AB的垂直平分線的斜率為2，
又設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，則D的坐標(biāo)為（

5+1

2

，

1+3

2

）即（3，2），
所以線段AB的垂直平分線的方程為：y-2=2（x-3）即2x-y-4=0，
令y=0，解得x=2，所以線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)即圓心C的坐標(biāo)為（2，0），
而圓的半徑r=|AC|=

(5-2)2+(1-0)2

=

10

，
綜上，圓C的方程為：（x-2）²+y²=10．
故答案為：（x-2）²+y²=10

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，掌握垂徑定理的靈活運(yùn)用，會(huì)根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．