Question

設(shè){a_n}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為S_n，且a₅，a₃，a₄成等差數(shù)列。
（1）求數(shù)列{a_n}的公比；
（2）證明：對任意k∈N+，S_k+2，S_k，S_k+1成等差數(shù)列。

Answer 1

解：設(shè){a_n}的公比為q（q≠0，q≠1）
∵a₅，a₃，a₄成等差數(shù)列，
∴2a₃=a₅+a₄，
∴ 
∵a₁≠0，q≠0，
∴q²+q-2=0，解得q=1或q=-2
∵q≠1，
∴q=-2。
（2）證明：對任意k∈N+，S_k+2+S_k+1-2S_k=（S_k+2-S_k）+（S_k+1-S_k）=a_k+2+a_k+1+a_k+1=2a_k+1+a_k+1×（-2）=0
∴對任意k∈N+，S_k+2，S_k，S_k+1成等差數(shù)列。