Question

統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：y=

1

128000

x3-

3

80

x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙兩地相距100千米．
（Ⅰ）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

Answer 1

分析：（I）把用的時(shí)間求出，在乘以每小時(shí)的耗油量y即可．
（II）求出耗油量為h（x）與速度為x的關(guān)系式，再利用導(dǎo)函數(shù)求出h（x）的極小值判斷出就是最小值即可．

解答：解：（I）當(dāng)x=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了

100

40

=2.5小時(shí)，
要耗油(

1

128000

×403-

3

80

×40+8)×2.5=17.5（升）．
答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升．
（II）當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了

100

x

小時(shí)，設(shè)耗油量為h（x）升，
依題意得h(x)=(

1

128000

x3-

3

80

x+8)•

100

x

=

1

1280

x2+

800

x

-

15

4

(0＜x≤120)，h′(x)=

x

640

-

800

x2

=

x3-803

640x2

(0＜x≤120)．
令h'（x）=0，得x=80．
當(dāng)x∈（0，80）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（80，120）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．
∴當(dāng)x=80時(shí)，h（x）取到極小值h（80）=11.25．
因?yàn)閔（x）在（0，120]上只有一個(gè)極值，
所以它是最小值．
答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力．