Question

10、求證兩兩相交而不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．

Answer 1

分析：解決此題，先要畫出圖形，前三條線只能畫成“兩兩相交，且不交于同一點(diǎn)”，這樣才能保證第四條線與前三條全相交，這樣的話圖形一共可以分為兩類．然后，我們可以根據(jù)推論1或者推論2，先把平面確定好，然后再根據(jù)公理1，進(jìn)一步證明其余的直線也在這個(gè)平面里．

解答：證明：第一種情形（如圖1）：四條直線l₁，l₂，l₃，l₄沒有三條直線過同一點(diǎn)，
這時(shí)它們共有六個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D、E、F，它們各不相同，
因直線l₁，l₂相交于點(diǎn)A，可決定一平面α；
因點(diǎn)B、C、D、E均在平面α內(nèi)，
所以直線l₃，l₄也在平面α內(nèi)，
故直線l₁，l₂，l₃，l₄同在平面α內(nèi)．

第二種情形（如圖2）：四條直線l₁，l₂，l₃，l₄中有三條，
例如l₁，l₂，l₃，過同一點(diǎn)A，
因直線l₄不過點(diǎn)A，
故由點(diǎn)A及直線l₄可決定一平面α，
因直線l₄與直線l₁，l₂，l₃，相交，
設(shè)交點(diǎn)為B、C、D，
則點(diǎn)B、C、D在直線l₄上，從而在平面α內(nèi)，
因此，直線l₁，l₂，l₃，各有兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，
即這三條直線在平面α內(nèi)，
故四直線l₁，l₂，l₃，l₄在同一平內(nèi)．

點(diǎn)評：此題難度系數(shù)不大，關(guān)鍵在于畫對圖形．重點(diǎn)考查了推論1、2與公理1，這些都是很簡單的道理，但是能夠運(yùn)用起來，卻不是那么容易，做題時(shí)不要煩躁，理清線條，定理運(yùn)用其實(shí)很簡單!