Question

一個(gè)底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，則該棱柱體積的最大值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：如圖所示，設(shè)底面正三角形的邊長為a，然后根據(jù)勾股定理求得棱柱的高的一半，進(jìn)而得到用a表示的三棱柱的體積，再利用導(dǎo)數(shù)即可求得答案．
解答：解：如圖所示，設(shè)球心為O，正三棱柱的上下底面的中心分別為O₁，O₂，底面正三角形的邊長為a，
則．
由已知得O₁O₂⊥底面，
在Rt△OAO₂中，∠AO₂O=90°，由勾股定理得=，
∴V_三棱柱===，
令f（a）=9a⁴-a⁶（），
則f^′（a）=36a³-6a⁵=-6a³（a²-6），令f^′（a）=0，
又∵a＞0，解得a=．
∵在區(qū)間（0，）上，f^′（a）＞0；在區(qū)間上，f^′（a）＜0．
∴函數(shù)f（a）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（a）在a=時(shí)取得極大值．
∵函數(shù)f（a）在開區(qū)間有唯一的極值點(diǎn)，因此a=也是最大值點(diǎn)．
∴（V_三棱柱）_max==．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查了球的內(nèi)接正三棱柱的最大體積問題，求出體積的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的通法，必須掌握．