Question

函數(shù)f（x）=x³-6x²的定義域?yàn)閇-2，t]，設(shè)f（-2）=m，f（t）=n，f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（Ⅰ）求證：n≥m；
（Ⅱ）確定t的范圍使函數(shù)f（x）在[-2，t]上是單調(diào)函數(shù)；
（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足f′(x0)=

n-m

t+2

；并確定這樣的x₀的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)h（t）=n-m代入求出得到h（t）≥0得證；
（Ⅱ）求出f′（x）=0時(shí)x的值，在區(qū)間[-2，t]上討論函數(shù)的增減性，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）n-m=（t+2）（t-4）²，得到

n-m

t+2

=(t-4)2，f′（x）=3x²-12，我們只要證明方程3x²-12x-（t-4）²=0在（-2，t）內(nèi)有解即可，設(shè)g（x）=3x²-12x-（t-4）²，得到g（-2）•g（t）=-2（t+2）²（t-4）（t-10）．討論t的值來(lái)決定方程解的個(gè)數(shù)即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)h（t）=n-m，則h（t）=t³-6t²+32=（t+2）（t-4）²≥0，所以n≥m．
（Ⅱ）f^′（x）=3x²-12，令f^′（x）=0，得x₁=0，x₂=4．
當(dāng)t∈（-2，0）時(shí)，x∈[-2，t]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是遞增函數(shù)；當(dāng)t=0時(shí)，顯然f（x）在[-2，0]也是遞增函數(shù)．
∵x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴當(dāng)t＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，t]上不是單調(diào)函數(shù)．∴當(dāng)t∈（-2，0]時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，t]上是單調(diào)函數(shù)．
（Ⅲ）由（1），知n-m=（t+2）（t-4）²，∴

n-m

t+2

=(t-4)2．
又∵f′（x）=3x²-12，我們只要證明方程3x²-12x-（t-4）²=0在（-2，t）內(nèi)有解即可．
記g（x）=3x²-12x-（t-4）²，則g（-2）=36-（t-4）²=-（t+2）（t-10），g（t）=3t²-12t-（t-4）²=2（t+2）（t-4），g（-2）=36-（t-4）²＞0，g（t）=3t²-12t-（t-4）²＞0，
∴g（-2）•g（t）=-2（t+2）²（t-4）（t-10）．
①當(dāng)t∈（-2，4）∪（10，+∞）時(shí)，g（-2）•g（t）=-2（t+2）²（t-4）（t-10）＜0，方程（*）在（-2，t）內(nèi)有且只有一解；
②當(dāng)t∈（4，10）時(shí)，g（-2）=-（t+2）（t-10）＞0，g（t）=2（t+2）（t-4）＞0，又g（2）=-12-（t-4）²＜0，∴方程（*）在（-2，2），（2，t）內(nèi)分別各有一解，方程（*）在（-2，t）內(nèi)兩解；
③當(dāng)t=4時(shí)，方程g（x）=3x²-12x=0在（-2，4）內(nèi)有且只有一解x=0；
④當(dāng)t=10時(shí)，方程g（x）=3x²-12x-36=3（x+2）（x-6）=0在（-2，10）內(nèi)有且只有一解x=6．
綜上，對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足f′(x0)=

n-m

t+2

．
當(dāng)t∈（-2，4]∪[10，+∞）時(shí)，滿足f′(x0)=

n-m

t+2

，x₀∈（-2，t）的x₀有且只有一個(gè)；
當(dāng)t∈（4，10）時(shí)，滿足f′(x0)=

n-m

t+2

，x₀∈（-2，t）的x₀恰有兩個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，會(huì)確定方程解的個(gè)數(shù)．