Question

已知（+3x²）ⁿ（n∈N）的展開式中，名項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和的比值為32．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

解：（Ⅰ）令x=1，則（+3x²）ⁿ 展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為4ⁿ
又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和由二項(xiàng)式系數(shù)公式可知為2ⁿ
∴=32，∴n=5
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：n=5
∴（+3x²）ⁿ展開式的第3、4兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 即 T₃==90 x⁶
T₄==270
分析：（Ⅰ） 對(duì)于各項(xiàng)系數(shù)的和可以通過賦值令x=1來求解，而各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和由二項(xiàng)式系數(shù)公式可知為2ⁿ，最后通過比值關(guān)系為32即可求出n的值是5．
（Ⅱ）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，求出r，將r的值代入通項(xiàng)求出展開式的常數(shù)項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的重要方法是賦值法、考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，解答關(guān)鍵是利用展開式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ