Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓x²+

y2

2

=1有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得c=2，e=

c

a

=

2

a

=

2

2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 8 + y2 4 =1

，得（1+2k²）x²+4kx-6=0，由此利用韋達(dá)定理和向量知識結(jié)合已知條件能求出直線l的斜率k的范圍．

解答： 解：（1）∵焦距為4，∴c=2，
又∵橢圓x²+

y2

2

=1的離心率為

2

2

，
∴e=

c

a

=

2

a

=

2

2

，解得a=2

2

，b=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2 8 + y2 4 =1

，得（1+2k²）x²+4kx-6=0，
∴x₁+x₂=

-4k

1+2k2

，x₁x₂=

-6

1+2k2

，
由（1）知右焦點F坐標(biāo)為（2，0），
∵右焦點F在圓內(nèi)部，∴

AF

•

BF

＜0…（8分）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…（9分）
∴(1+k2)•

-6

1+2k2

+(k-2)•

-4k

1+2k2

+5=

8k-1

1+2k2

＜0…（11分）
∴k＜

1

8

，經(jīng)檢驗得k＜

1

8

時，直線l與橢圓相交，
∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，

1

8

）．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．