Question

已知橢圓C：的焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，點在橢圓上，且|MF₁|+|MF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C：交于A，B兩點，點P滿足，點Q的坐標(biāo)是，設(shè)直線PQ的斜率是k₁，且k₁•k=2，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為點在橢圓C：上，且|MF₁|+|MF₂|=4，
所以，2a=4．
所以a²=4，b²=1．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．…..（3分）
（Ⅱ）聯(lián)立方程組消去y，得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0．
所以△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）＞0，…..（4分）
即1+4k²＞t²．①…..（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以．…..（6分）
因為，所以點P是AB的中點，
設(shè)P（x_P，y_P），所以，．…..（8分）
因為點Q的坐標(biāo)是，直線PQ的斜率是k₁，
所以．…..（10分）
因為k₁•k=2，所以．
所以1+4k²=6t．②…..（12分）
所以由①，②式，可得 6t＞t²．
所以0＜t＜6．
所以實數(shù)t的取值范圍是0＜t＜6．…..（14分）
分析：（Ⅰ）利用點在橢圓C：上，且|MF₁|+|MF₂|=4，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，及向量知識，結(jié)合k₁•k=2，建立不等式，即可求得實數(shù)t的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．