已知數(shù)列{an}滿足an=
n
n-1
an-1-
1
3
n•(
2
3
)n(n≥2，n∈N*)，首項(xiàng)為a1=
4
9
；
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=
n-an
3n-2an
，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：
3n-4
9
＜Tn＜
n
3
．
分析：（1）根據(jù)題中已知條件和等比數(shù)列的基本性質(zhì)便可求出an的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）中求得的an的通項(xiàng)公式即可求出bn的通項(xiàng)公式，然后先證明bn＜
1
3
，即可證明Tn＜
n
3
，然后再證明Tn＞
3n-4
9
，即可證明：
3n-4
9
＜Tn＜
n
3
．
解答：解：（1）由已知可得
an
n
=
an-1
n-1
-
1
3
(
2
3
)n(n≥2，n∈N*)，即
an
n
-
an-1
n-1
=-
1
3
(
2
3
)n
由累加法可得：
an
n
=(
2
3
)n+1，即an=n(
2
3
)n+1
又n=1也成立，所以an=n(
2
3
)n+1(n∈N*)；
（2）bn=
n-an
3n-2an
=
1-
an
n
3-2
an
n
=
1-(
2
3
)n+1
3-2(
2
3
)n+1

先證bn＜
1
3

由bn＜
1
3
?
1-(
2
3
)n+1
3-2(
2
3
)n+1
＜
1
3
?1-(
2
3
)n+1＜1-
2
3
•(
2
3
)n+1?
1
3
•(
2
3
)n+1＞0，此式顯然成立，
∴Tn=b1+b2++bn＜
n
3
（6分）
又bn=
1-(
2
3
)n+1
3-2(
2
3
)n+1
＞
1
3
[1-(
2
3
)n+1]
∴Tn=b1+b2++bn＞
1
3
[n-(
2
3
)2-(
2
3
)3--(
2
3
)n+1]=
1
3
[n-
4
3
(1-(
2
3
)n]＞
1
3
[n-
4
3
]=
3n-4
9
．
∴
3n-4
9
＜Tn＜
n
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列與不等式的綜合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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