Question

如圖，已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一條準線方程是x=

25

4

，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的方程；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線C₂上一點P，直線AP、PB分別交橢圓C₁于點M、點N，若△AMN與△PMN的面積相等．①求P點的坐標 ②求證：

MN

•

AB

=0．

Answer 1

分析：（1）由已知

a2 c = 25 4 b a = 3 5 a2=b2+c2

，解即可；
（2）①由（1）A（-5，0），B（5，0），設M（x₀，y₀），利用△AMN與△PMN的面積相等，可得M為AP的中點．于是得到P點坐標為（2x₀+5，2y₀），把M、P坐標代入c₁、c₂方程即可解得；
②當P為（10，3

3

)時，利用點斜式得到PB：y=

3 3

10-5

(x-5)，與橢圓方程聯(lián)立即可解得點N的坐標，只要與點M的橫坐標線段即可．

解答：解：（1）由已知

a2 c = 25 4 b a = 3 5 a2=b2+c2

，解得

a=5 b=3 c=4

．
∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1，雙曲線的方程

x2

25

-

y2

9

=1．
（2）①由（1）A（-5，0），B（5，0），設M（x₀，y₀），
∵△AMN與△PMN的面積相等，∴M為AP的中點．
∴P點坐標為（2x₀+5，2y₀），
把M、P坐標代入c₁、c₂方程得

x 2 0 25 + y 2 0 9 =1 (2x0+5) 25 - y 2 0 9 =1

消去y₀得2

x

2 0

+5x0-25=0，解之得x0=

5

2

或x0=-5(舍)
由此可得P（10，3

3

)．
②證明：當P為（10，3

3

)時，PB：y=

3 3

10-5

(x-5)，即y=

3 3

5

(x-5)．
代入

x2

25

+

y2

9

=1得：2x2-15x+25=0，x=

5

2

或5(舍)，
∴xN=

5

2

，∴x_N=x_M
∴MN⊥x軸．  即

MN

•

AB

=0．

點評：熟練掌握橢圓與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得出交點的坐標、中點坐標公式、直線垂直與數(shù)量積的關系等是解題的關鍵．