Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（0，1），Q（0，2）．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，可得b的值，利用離心率為，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x，y），（-x，y），求出直線PM、QN的方程，求得x，y的值，代入橢圓方程，整理可得結(jié)論．
解答：（1）解：由題意，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，∴b==．
因?yàn)殡x心率e==，所以=，所以a=2．     
所以橢圓C的方程為．
（2）證明：由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x，y），（-x，y），則直線PM的方程為y=x+1，①
直線QN的方程為y=x+2．   ②…（8分）
設(shè)T（x，y），聯(lián)立①②解得x=，y=．            …（11分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123015965038310/SYS201310251230159650383016_DA/13.png">，所以（）²+（）²=1．
整理得=（2y-3）²，所以-12y+8=4y²-12y+9，即．
所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．