Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0， 

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0， 

π

2

]時，推出-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，結(jié)合正弦函數(shù)的最值，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1．
所以T=

2π

2

=π．（7分）
（Ⅱ）f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1
當x∈[0， 

π

2

]時，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，
所以當2x-

π

4

=

π

2

，f(x)max=

2

-1，
當2x-

π

4

=-

π

4

，f（x）_min=-2．
所以f（x）的取值范圍是[-2， 

2

-1]．（13分）

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)公式等知識，考查計算能力．