Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{4k+1}{2}$π-$\frac{x}{2}$）-sin（-$\frac{x}{2}$），k∈Z，x∈R
（1）求f（x）在[0，π）上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（α）=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），求tan（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系式，以及兩角和差的正切公式，同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡求解．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{4k+1}{2}$π-$\frac{x}{2}$）-sin（-$\frac{x}{2}$）=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$-$\frac{x}{2}$）+sin$\frac{x}{2}$
=sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{x}{2}$）+sin$\frac{x}{2}$=cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
則4kπ-$\frac{3π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{2}$，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$]，
當(dāng)k=0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為為[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∵x∈[0，π），
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為[0，$\frac{π}{2}$]，
即f（x）在[0，π）上的單調(diào)增區(qū)間是[0，$\frac{π}{2}$]；
（2）若f（α）=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
則$\sqrt{2}$sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
即sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則cos2（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1-2sin²（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1-2×（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²=1-$\frac{8}{5}$=-$\frac{3}{5}$，
即cos（α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{3}{5}$，
即-sinα=-$\frac{3}{5}$，
則sinα=$\frac{3}{5}$，則cosα=$\frac{4}{5}$，則tanα=$\frac{3}{4}$，
則tan2α=$\frac{2tanα}{1-tan{\;}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{3}{4}}{1-（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{24}{7}$，
則tan（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan2α+1}{1-tan2α}$=$\frac{1+\frac{24}{7}}{1-\frac{24}{7}}$=-$\frac{31}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解以及三角函數(shù)值的化簡和求值，利用兩角和差的正切公式，以及同角的基本關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．