Question

（本小題共13分）

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點（）均在函數(shù)的圖象上．

   （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及前項和；

   （Ⅱ）存在，使得對任意恒成立，求出的最小值；

（Ⅲ）是否存在，使得為數(shù)列中的項？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）因為 ，所以 ．

因為 ， 所以，．

所以．                                    

因為 點（）均在函數(shù)的圖象上，

所以 ．                                    

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以  （）．                               ………………………4分

（Ⅱ）存在，使得對任意恒成立．

只要

由（Ⅰ）知，

 所以 ．

當(dāng)時，；  當(dāng)時，；  當(dāng)時，；

所以 當(dāng)或時，有最大值是．

所以 ，

又因為 ，

所以的最小值為．                                        ………………………8分

（Ⅲ）存在，使得為數(shù)列中的項．

由（Ⅰ）知 ，

所以 ，，，

所以 ．

令，

所以 ，

如果 是數(shù)列中的項，那么為小于等于5的整數(shù)，

所以 ．

當(dāng)或時，，不合題意；

當(dāng)或時，，符合題意．

所以，當(dāng)或時，即或時，為數(shù)列中的項．

………………………13分