已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與y=x+2相切．
（1）求a與b；
（2）設該橢圓的左、右焦點分別為F1和F2，直線l過F2且與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1與點P．求PF1線段垂直平分線與l2的交點M的軌跡方程，并說明曲線類型．
分析：（1）由題意以原點為圓心，橢圓短軸長為半徑的圓與y=x+2相切．圓心到直線的距離等于半徑，以及離心率解得a與b．
（2）求出焦點坐標，設出P求出N，再設M、（x，y），利用垂直關系可求得軌跡方程．
解答：解：（1）e=
3
3
，∴
b2
a2
=
2
3
，
又b=
2
1+1
=
2
，∴a=
3
，b=
2
．
（2）由（1）知F1，F(xiàn)2分別為（-1，0），（1，0），
由題意可設P（1，t），（t≠0）那么線段PF1中點為N（0，
t
2
），
設M（x，y）是所求軌跡上的任意點，由
MN
=（-x，
t
2
-y），
PF1
=（-2，-t）
則
MN
•
PF1
=2x+t(y-
t
2
)=0
y=t
，
消t得y2=-4x（x≠0）其軌跡為拋物線除原點的部分．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，軌跡方程，橢圓的性質等知識，是綜合性較強的題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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