Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為2的正方形，AA₁⊥底面ABCD，
AA₁=3，點E在棱CC₁上，點F是棱C₁D₁的中點
（1）當AF∥平面BDE時，求CE的長；
（2）當CE=1時，求二面角A₁-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁，分別為X，Y，Z軸，分別求出各點的坐標，進而求出直線AF的方向向量及平面BDE的法向量，代入線面夾角向量法公式，即可得到滿足條件的E的坐標，進而求出答案．
（2）求出平面A₁BE的一個法向量的坐標及平面BDE的一個法向量的坐標，代入二面角向量法公式，即可得到二面角A₁-BE-D的余弦值．

解答：解：（1）建立如圖所示空間直角坐標系，
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）F（0，1，2），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），C₁（0，2，2）（2分）
（1）設CE=a，則E（0，2，a）
設

n

=(x，y，z)是平面BDE的一個法向量，

DB• n =0 DE • n =0

，

n

=(a，-a，2)，（4分）
又

AF

=(-2，1，2)，又

AF

•

n

=0，CE=a=

4

3

（6分）
（2）設

m

=(x，y，z)是平面A₁BE的法向量

BE• m =0 BA1 • m =0

，

m

=(1，2，2)，（8分）
又

n

=(1，-1，2)，cos＜

m

，

n

＞=

6

6

，（11分）
所以二面角A₁-BE-D的余弦值為

6

6

（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的性質，其中建立空間坐標系，然后將空間直線與平面、平面與平面位置關系轉化為向量之間的關系，是解答本題的關鍵．