已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿足f(2)=0,且方程f(x)=x有相等的實根,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)≤t2+ct+1對一切t∈R,x∈R恒成立,求實數(shù)C的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)m,n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n]?若存在,求出m、n的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)f(2)=0和f(x)=x有等根,建立關(guān)于a、b的二元方程組,解出a、b的值,即可得到f(x)的解析式;
(2)由二次函數(shù)的最值,得關(guān)于t的不等式即t2+ct+
1
2
≥0對任意t∈R恒成立.再用根的判別式建立關(guān)于c的不等式,解之即可得到實數(shù)c的取值范圍;
(3)根據(jù)f(x)的最大值為
1
2
,可知若存在滿足條件的m、n,則必有n
1
8
,從而得到在區(qū)間[m,n]上函數(shù)是增函數(shù),由此建立關(guān)于m、n的方程組,解之即可得存在m=-6,n=0,使得使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n].
解答:解:(1)由f(2)=0可知,4a+2b=0,
又∵f(x)=x有兩個相等實根,
可得(b-1)2-4ac=0,解之得a=-
1
2
,b=1,
故f(x)的解析式為:f(x)=-
1
2
x2+x.
(2)∵f(x)=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
1
2
,
∴不等式f(x)≤t2+ct+1對一切t∈R、x∈R恒成立,可得
1
2
≤t2+ct+1對一切t∈R恒成立,
即t2+ct+
1
2
≥0對任意t∈R恒成立.
因此,△=c2-2≤0,解之得-
2
≤c≤
2
;
(3)假設(shè)存在實數(shù)m、n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n],
由(1)可知f(x)=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
1
2
,故4n≤
1
2
,故m<n≤
1
8

又∵函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x=1,
∴f(x)在區(qū)間[m,n]上單調(diào)遞增,可得f(m)=4m,f(n)=4n,
解得m=0或m=-6,n=0或n=-6.再由m<n,可得m=-6,n=0.
綜上所述,得存在m=-6,n=0,使得使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n].
點評:本題給出二次函數(shù)和一元二次不等式恒成立,求函數(shù)的表達(dá)式并解關(guān)于x的不等式恒成立的問題,著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)恒成立問題和不等式的解法等知識,屬于中檔題.
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
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f(x)x-1

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