Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2AA₁，∠BAA₁=∠CAA₁=60°，D，E分別為AB，A₁C中點．
（1）求證：DE∥平面BB₁C₁C；
（2）求證：BB₁⊥平面A₁BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC₁，由題意可得：E為A₁C的中點，所以E為AC₁的中點．連接BC₁，可得DE∥BC₁，進而根據線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）設AA₁=a，則AB=2a．根據余弦定理可得：A₁B²=3a²，所以A₁B²+A₁A²=AB²，可得A₁A⊥A₁B．所以B₁B⊥A₁B，同理可得B₁B⊥A₁C，再根據線面垂直的判定定理可得線面垂直．
解答：證明：（1）連接AC₁，因為AA₁C₁C為平行四邊形，
所以AC₁與A₁C互相平分．
因為E為A₁C的中點，
所以E為AC₁的中點．
連接BC₁，因為D為AB的中點，
所以DE∥BC₁．
因為BC₁?平面BB₁C₁C，DE?平面BB₁C₁C，
所以DE∥平面BB₁C₁C．
（2）設AA₁=a，則AB=2a．
因為∠BAA₁=60°，
所以A₁B²=A₁A²+AB²-2A₁A•AB•cos∠A₁AB=3a²，
所以A₁B²+A₁A²=AB²，
所以A₁A⊥A₁B．
因為B₁B∥A₁A，所以B₁B⊥A₁B．
同理B₁B⊥A₁C，
因為A₁B∩A₁C=A₁，
所以BB₁⊥平面A₁BC．
點評：本題主要考查線面平行的判定定理與線面平行的判定定理，解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征以及有關的定理．