Question

已知函數(shù)f（x）=，對(duì)于下列三個(gè)命題：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）＜1；③當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取得極小值．其中真命題的序號(hào)為

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③
3. C.
   ②③
4. D.
   ①②③

Answer 1

A
分析：對(duì)于①，考察證明f（-x）與f（x）的關(guān)系得證；對(duì)于②針對(duì)函數(shù)f（x）=的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜時(shí)的函數(shù)值即可，再利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過(guò)面積關(guān)系證明sinx＜x．對(duì)于③，利用商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
解答：函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閤≠0，
當(dāng)x≠0時(shí)，f（-x）====f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；①正確；
對(duì)于②，針對(duì)函數(shù)f（x）=的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜時(shí)的函數(shù)值即可，
如圖，在單位圓中，有sinx=MA，
連接AN，則S_△OAN＜S_扇形OAN，
設(shè)的長(zhǎng)為l，則x==l，
∴ON•MA＜ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f（x）=＜1，
而由該函數(shù)是偶函數(shù)，可知②正確；
f′（x）==
令=0得xcosx-sinx=0，
即tanx=x，但當(dāng)x=π時(shí)，不滿(mǎn)足tanx=x，
故當(dāng)x=π時(shí)，f（x）取不到極小值，故③錯(cuò)．
綜上可得真命題的序號(hào)為①②，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．