Question

設(shè)定圓M：(x+

3

)2+y2=16，動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F(

3

，0)且與圓M相切，記動(dòng)圓N圓心N的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）已知A（-2，0），過(guò)定點(diǎn)B（1，0）的動(dòng)直線(xiàn)l交軌跡C于P、Q兩點(diǎn)，△APQ的外心為N．若直線(xiàn)l的斜率為k₁，直線(xiàn)ON的斜率為k₂，求證：k₁•k₂為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件得圓N內(nèi)切于圓M，|NM|+|NF|=4＞|FM|，由此能求出點(diǎn)N的軌跡C的方程．
（2）設(shè)直線(xiàn)PQ為x=my+1設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my+1 x2+4y2=4

，得（m²+4）y²+2my-3=0，由此利用韋達(dá)定理綜合已知條件能k₁•k₂為定值．

解答： （1）解：∵點(diǎn)F(

3

，0)在圓M：(x+

3

)2+y2=16內(nèi)，
∴圓N內(nèi)切于圓M，
∴|NM|+|NF|=4＞|FM|
∴點(diǎn)N的軌跡C的方程為

x2

4

+y2=1．…（5分）
（2）證明：∵△APQ存在，
∴直線(xiàn)PQ斜率不為0
設(shè)直線(xiàn)PQ為x=my+1設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x=my+1 x2+4y2=4

，得（m²+4）y²+2my-3=0，

y1+y2= -2m m2+4 y1•y2= -3 m2+4

，
直線(xiàn)AP的中垂線(xiàn)方程為：y=-

x1+2

y1

(x-

x1-2

2

)+

y1

2

，
即y=-

x1+2

y1

x+

x 2 1 -4

2y1

+

y1

2

，
∵

x

2 1

+4

y

2 1

=4，∴y=-

x1+2

y1

x-

3y1

2

，
∴y=-

my1+3

y1

x-

3

2

y1，∴y=-mx-

2

y1

x-

3y1

2

，
同理得到直線(xiàn)AQ的中垂線(xiàn)方程為：y=-mx-

2

y2

x-

3y2

2

，…（7分）
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)滿(mǎn)足

y+mx=- 2 y1 x- 3y1 2 y+mx=- 2 y2 x- 3y2 2

，
∴

2 y1 x+ 3y1 2 = 2 y2 x+ 3y2 2 2y+2mx=-( 2 y1 x+ 2 y2 x)-( 3y1 2 + 3y2 2 )

，
∴

x= 1 2 y1y2 2y+2mx=-( 1 y1 + 1 y2 )3x- 3 2 (y1+y2)

，
∴

x= -3 2(m2+4) 2y+2mx=-2mx+ 3m m2+4

…（9分）
∴2y+2mx=-2mx-2mx，
解得k2=

y

x

=-3m
又∵直線(xiàn)l的斜率為k₁，
∴k1=

1

m

（m≠0），∴k₁k₂=-3．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查斜率乘積為定值的證明，考查分析運(yùn)算能力，考查推理論證能力，考查函數(shù)方程思想，考查分類(lèi)整合思想，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的要求較高．