Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）+f（x）=0，且函數f（x+1）為奇函數．給出下列結論：
①函數f（x）的最小正周期為2；
②函數f（x）的圖象關于（1，0）對稱；
③函數f（x）的圖象關于x=2對稱； 
④函數f（x）的最大值為f（2）．
其中正確命題的序號是（　�。�

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：①由題意知在R上的函數f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，說明該函數的周期為T=4；
②函數f（x+1）為奇函數，說明函數f（x）應該有對稱中心（1，0）；
③由f（x+1）為奇函數，得f（-x+1）=-f（x+1）；又f（x+2）+f（x）=0，得f（x+2）=-f（x），從而得f（x）有對稱軸x=2；
④由f（x）周期T=4，對稱軸x=2，且f（x+1）為奇函數，可得在x=2時，f（x）可能取得最大值（或最小值）．

解答：解：①∵定義在R上的函數f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，
即：f（x+2）=-f（x）對于一切x都成立，
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），由函數的周期定義可以得到：
∴f（x）是周期函數，且周期T=4，所以結論①錯誤；
②∵函數f（x+1）為奇函數，即函數f（x）向左平移一個單位以后關于（0，0）對稱，
∴平移之前的圖象應該關于（1，0）對稱，所以結論②正確；
③∵y=f（x+1）為奇函數，∴f（-x+1）=-f（x+1）；
又f（x+2）+f（x）=0，∴f（x+2）=-f（x），∴f（x+3）=-f（x+1）=f（-x+1）；
∴函數f（x）有對稱軸x=2，所以結論③正確；
④∵f（x）的周期T=4，有對稱軸x=2，且f（x+1）為奇函數，∴滿足以上條件的函數f（x）的最大值（或最小值）是f（2）；所以結論④不正確．
綜上，結論正確的有②③
故選：B

點評：本題考查了用定義求函數的周期，還考查了函數的對稱性與圖象的平移變換，以及復合函數的奇偶性問題，是易錯題．