Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜1．
（I）證明f（x）在R上是增函數(shù)；
（II）若f（3）=4，求函數(shù)f（x）在[1，3]上的值域．

Answer 1

證明：（I）設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
f （x₁）-f （x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f （x₂）
=f （x₁-x₂）+f （x₂）-1-f （x₂）=f （x₁-x₂）-1，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜1
∴f （x₁）-f （x₂）=f （x₁-x₂）-1＜0，
即f （x₁）＜f （x₂），
∴f （x）在R上是增函數(shù)；
（II）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2
∵f （x）在R上是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在[1，3]上的值域?yàn)閇2，4]．
分析：（I）設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，根據(jù)f （x₁）-f （x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f （x₂），結(jié)合f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜1，可證f （x₁）＜f （x₂），故可得結(jié)論；
（II）根據(jù)f（3）=4，計(jì)算f（1）=2，利用f （x）在R上是增函數(shù)，即可得到函數(shù)f（x）在[1，3]上的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．