Question

【題目】已知.

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)， ， 為函數(shù)的兩個零點，求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析: （Ⅰ）根據(jù)導數(shù)，分類討論，當時， ；當時， ，由

得， 時， ， 時， ，即可得出單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．不妨設(shè)，由條件知，即，構(gòu)造函數(shù)， 與圖像兩交點的橫坐標為， ，利用單調(diào)性只需證

構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明．

試題解析：（Ⅰ） ，

當時， ，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；

當時， ，由

得

時， ， 時， ，

時，易知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

不妨設(shè)，由條件知，即

構(gòu)造函數(shù)， 與圖像兩交點的橫坐標為，

由可得，

而，

知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

可知

欲證，只需證，即證

考慮到在上遞增，只需證

由知，只需證

令，

則

即單增，又，

結(jié)合知，即成立，

即成立