Question

設(shè)a_n為常數(shù)，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N^*）．
（1）證明對任意n≥1，有an=

3n+(-1)n-12n

5

+(-1)n2na0；
（2）假設(shè)對任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）選擇利用數(shù)學(xué)歸納法為妥，需要注意的是有歸納假設(shè)a_k到a_k+1的變形，利用歸納假設(shè)，注意目標(biāo)的形式就能得到結(jié)果；另外可以利用遞推數(shù)列來求得通項(xiàng)公式，當(dāng)然需要對遞推數(shù)列的a_n+1=pa_n+f（n）這種形式的處理要合適；這種形式的一般處理方法是：兩邊同時(shí)除以pⁿ⁺¹或者是構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，構(gòu)造法有一定的技巧，如本題可設(shè)a_n-a3ⁿ=-2（a_n-1-a3^n-1），
（2）由（1）的結(jié)論可作差a_n-a_n-1＞0并代入運(yùn)算，由于含有（-1）ⁿ的形式要注意對n=2k-1和n=2k進(jìn)行討論，只需取k=1，2時(shí)得到a₀的取值范圍即可，另外一個(gè)思路是只需取n=1，2時(shí)得到a₀的范圍，然后分n=2k-1和n=2k進(jìn)行證明a_n-a_n-1＞0．具體解法參見參考答案．

解答：解：（1）證法一：
（i）當(dāng)n=1時(shí)，由已知a₁=1-2a₀，等式成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）等式成立，
則ak=

1

5

[3k+(-1)k-12k]-(-1)k2a0，
那么ak+1=3k-2ak=3k-

2

5

[3k+(-1)k-12k]-(-1)k2k+1a0
=

1

5

[3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+1a0．
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
根據(jù)（i）和（ii），可知等式對任何n∈N，成立．

證法二：如果設(shè)a_n-a3ⁿ=-2（a_n-1-a3^n-1），
用a_n=3^n-1-2a_n-1代入，可解出a=

1

5

．
所以{an-

3n

5

}是公比為-2，
首項(xiàng)為a1-

3

5

的等比數(shù)列．
∴an-

3n

5

=(1-2a0-

3

5

)(-2)n-1(n∈N)．
即an=

3n+(-1)n-12n

5

+(-1)n2na0．

（2）解法一：由a_n通項(xiàng)公式an-an-1=

2×3n-1+(-1)n-13×2n-1

5

+(-1)n3×2n-1a0．
∴a_n＞a_n-1（n∈N）等價(jià)于(-1)n-1(5a0-1)＜(

3

2

)n-2(n∈N)．①
（i）當(dāng)n=2k-1，k=1，2，時(shí)，
①式即為(-1)2k-2(5a0-1)＜(

3

2

)2k-3
即為a0＜

1

5

(

3

2

)2k-3+

1

5

．
②式對k=1，2，都成立，
有a0＜

1

5

×(

3

2

)-1+

1

5

=

1

3

．
（ii）當(dāng)n=2k，k=1，2時(shí)，
①式即為(-1)2k-1(5a0-1)＜(

3

2

)2k-2．
即為a0＞-

1

5

×(

3

2

)2k-2+

1

5

．
③式對k=1，2都成立，有a0＞-

1

5

×(

3

2

)2×1-2+

1

5

=0．
綜上，①式對任意n∈N_*，成立，有0＜a0＜

1

3

．
故a₀的取值范圍為(0，

1

3

)．
解法二：如果a_n＞a_n-1（n∈N_*）成立，
特別取n=1，2有a₁-a₀=1-3a₀＞0．a(chǎn)₂-a₁=6a₀＞0．
因此0＜a0＜

1

3

．下面證明當(dāng)0＜a0＜

1

3

．時(shí)，
對任意n∈N_*，a_n-a_n-1＞0．
由a_n的通項(xiàng)公式5（a_n-a_n-1）=2×3^n-1+（-1）^n-13×2^n-1+（-1）ⁿ5×3×2^n-1a₀．
（i）當(dāng)n=2k-1，k=1，2時(shí)，
5（a_n-a_n-1）=2×3^n-1+3×2^n-1-5×3×2^n-1a₀＞2×2^n-1+3×2^n-1-5×3×2^n-1=0
（ii）當(dāng)n=2k，k=1，2時(shí)，
5（a_n-a_n-1）=2×3^n-1-3×2^n-1+5×3×2^n-1a₀＞2×3^n-1-3×2^n-1≥0．
故a₀的取值范圍為(0，

1

3

)．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．對遞推數(shù)列的a_n+1=pa_n+f（n）這種形式的考查是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)除以pⁿ⁺¹得到

an+1

pn+1

-

an

pn

=

f(n)

pn+1

，然后用累加法得到

an

pn

的等式可得結(jié)果，或者是構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列a_n+1+kf（n）=p（a_n+kf（n））（不具有普適性）．